揭秘自然对数

在了解了自然底数(Base of the Natural Logarithm)之后,让我们再看看自然对数ln (Natural Logarithm)。如果还不了解自然底数及连续复利模型,可以先看看《自然底数怎么就“自然”了?》。自然底数和自然对数都有其固有的数学美感,只要有一双善于发现的眼睛,总能在生活中发现它们的身影,见文章《飞蛾真的是因为趋光所以扑火?》。数学的基本运算可分为三个等级。第一级为加、减运算,虽然加减法的概念在公元前20世纪的古埃及数学家艾哈迈斯(Ahmes)的纸草书中就有体现,但今天的加号“+”和减号“-”,最早有史料记载的,是在15世纪末的德国人的手稿中,现保存于德国德累斯顿(Dresden)图书馆。

后来,人们发现在遇到“连加”或“连减”时,加减法的效率很低,于是就发明了第二级运算——乘法和除法以及与此对应的乘号和除号。在西方,“×”被称为“圣安德鲁斜十字(St. Andrew’s Cross)”。安德鲁是耶稣的12门徒之一,由于其被钉死在斜十字架上,因此,斜十字架也成为圣安德鲁斜十字。现代意义上的“×”号最先出自于1631年英国数学家奥特雷德(William Oughtred)的《数学之钥》中。

1698年,莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)在其给瑞士数学家雅各比·伯努利(Jacob Bernoulli)的信件中首次使用“·”表示乘法,以此来避免乘号“×”和字母“X”的混淆。不过,后来在向量代数中,用“·”表示“数量积”或“内积”,而“×”则表示“向量积”或“外积”,这就算是另一种区分方法了。

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716)

(图片来源: wikipedia)

今天用的除号“÷”称为“雷恩记号”。它是瑞士数学家雷恩(Rahn)在其1659年出版的一本代数书中首先使用,在1688年,这本书被译成英文,这个符号也随之通用起来。

但人们还不满足,因为人们遇到了“连乘”和“连除”,即“乘方”。而且,乘方有两种逆运算,分别是“开方”和“对数”。这是第三级运算与加减乘除的不同之处。

法国数学家笛卡尔(Descartes)在1637年定义了现代乘方符号,即在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。1732年卢贝(Loubere)首次使用根号来表示开方,并逐渐流行起来。

“开方”的诞生似乎顺理成章,但是乘方的另一种逆运算——“对数”,就有些“难产”了。

斯蒂菲尔(Michael Stifel)是德国德国哥尼斯堡大学的数学讲师,1544年,他写了一本书叫《整数的算术》,在这本书中他应用“一一对应”的方法几乎造就了一座数学丰碑。

Michael Stifel

(1487-1567)

(图片来源: wikipedia)

斯蒂菲尔在书中写道:“关于整数的这些奇妙性质,可以写成整本整本的书!”下面就是他书中列出的两列数字:

可以看出,上一列其实就是通项公式为2n的等比数列(n为整数),他称其为“原数”;下一列则是一个由整数构成的等差数列,他称其为“代表数”,德语是Exponent,也可译为“代言人”。

他发现,“原数”相乘等于“代表数”相加“原数”相除等于“代表数”相减。即,利用这两列数可以把较为复杂的乘除法变成较为简单的加减法。

其实,我们看来,这个结论没有什么神奇之处,因为所谓的“代表数”其实就是“原数”以2为底的对数。但是在当时,这种计算方法思想是开创性的。

不过遗憾的是,在斯蒂菲尔的那个年代还没有分数指数的概念,因此在处理指数不是整数时遇到了巨大的阻力,最后,他放弃了对这种计算方法的进一步研究,而只是停留在了整数上。不过,斯蒂菲尔也并非全然无功,他的前驱性工作,成为纳皮尔发明对数的“巨人肩膀”。约翰·纳皮尔(John Napier)是苏格兰数学家、物理学家兼天文学家。1614年,其在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》中提出了对数的概念。

John Napier

(1550-1617)

(图片来源: wikipedia)

“看起来在数学实践中,最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方,计算起来特别费事又伤脑筋,于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。”

–约翰·纳皮尔,《奇妙的对数定律说明书》

作为数学家、物理学家兼天文学家,他在计算各种行星轨道数据时,也被浩瀚的计算量所折磨,因此很痛恨这些乏味的重复性工作。为了解决这一问题,他用了20年的时间,进行了数百万次的计算,发明了对数和对数表,听起来很矛盾,一个不想做重复工作的人结果做了20年重复性工作。但是,他的努力确实为后人减少了大量的重复性工作,大大减少了数学家、天文学家的计算量,由此可见,这在天文学界算得上是一项伟大的发明了,看看名人们对其的评价就能看出其重要性。

对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立是17世纪数学的三大成就。

——恩格斯

对数的发现,因其节省劳力而延长了天文学家的寿命。

——拉普拉斯

给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。

——伽利略

对数使得手算变得简单而且快多了,也因此为后来许多科学进步开启了大门。那么如何理解对数?一个直观的解释是:对数指的是到达某一数量所需要的时间。这里先介绍自然对数。即以e为底的对数。

例如,有一个土豪投资的项目正好满足年利率为100%的连续复利。但是这个土豪小学文化,数学水平也就加减乘除,假设你是这个项目的负责人,想劝说土豪再多投资,如果跟他说什么连续复利、什么100%、什么指数增长,土豪听不懂啊,你再这么说下去感觉在欺负人啊!土豪就发话了:“别整那些没用的,你就告诉我,我的钱啥时候能涨到10倍,100倍,1000倍?”你有些发懵了,一般人不怎么问啊,不都是问一年后是多少,两年后是多少之类的吗?所以这里的问题就是知道时间求数量的逆向问题——知道数量求时间。土豪就是土豪,有的是钱,他只想从翻倍时间的长短来判断哪项投资赚得快。因此,这里就要用到对数,在这样一个年利率为100%的连续复利增长模型下,如果你想得涨到你本金10倍,你需要等待的时间其实就是ln(10)≈2.302年,到100倍所需时间就是ln(100)≈4.605年,到1000倍所需时间就是ln(1000)≈6.907年。

 ln

和ln好像是孪生一对,x表示单位数量经过个单位时间增长后的数量(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。那么在单位时间增长率为50%的连续复利情况下,增长4年和单位时间增长率为100%的连续复利情况下增长2年是一样的。因为x=rate·time=e1·time=time。所以,可以看出,不管利率是多少,通用的连续复利模型rate·time都可以描述。

ln()表示单位数量增长到个单位数量所需要的时间(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。ln正好与相反,x表示输入时间得到数量,ln()表示输入数量计算达到这么多数量所需时间。

自然对数的计算

有人可能会觉得对数这种算法很奇怪,不知道为什么它能够将乘法转变为加法,把除法转化为减法,但如果掌握其“数学内涵”的话,就好理解了。

先看ln(1),它是多少呢?我们都知道答案是0,因为其数学内涵是:单位数量增长到单位数量的1倍时所需要的时间,因为现在就已经是现在数量的1倍了,所以无需再给予时间让它增长了。

那么,如果是分数呢?例如,得到现在数量的1/2需要多久。我们知道ln(2)表示在单位时间增长率为100%的连续复利情况下翻倍所需要的时间。那我们取反,就得到了退回现在的一半所需要的时间(如果是等待所花费的时间为正,如果是“时光倒流”的话,时间则为负,是不是很直观?!)。因此ln(0.5)=ln(2)-1=-ln(2)=-0.693

那么能不能对负数取对数呢?答案是否定的,因为一个给定的数量不能增长为一个负数也无法退回成为一个负数,再怎么等待下去或者再怎么“时光倒流”,这种情况也不可能发生,所以没有定义。

为了增长到30倍,我们可以等ln(30)个单位时间,也可以先等增长3倍所需要的时间ln(3)再等个增长10倍所需要的时间ln(10),效果是一样的。因为在增长率不变的连续复利情况下,给定一个初始值,那么增长到初始值的倍所需要的时间是一定的,与初始值的大小并没有任何关系。即ln(a*b)=ln(a)+ln(b)。

那么ln(5/3)呢,意味着计算增长到现在的5倍所需时间减去以5倍为基数退回到其1/3所需时间。所以有ln(a/b)=ln(a)-ln(b)。

  • 相乘增长量=时间相加
  • 相除增长量=时间相减

但是对于增长率不是100% 的连续复利模型呢?

其实同样适用。

例如ln(30)≈3.4可以看为是在单位时间利率100%连续复利情况下变为原来的30倍所需要的时间为3.4个单位时间。

由于x=rate·years100%·3.4=30

当我们计算单位时间利率为5%,增长到30倍所需时间时。其实只要保证rate·time=3.4即可。即0.05·time=3.4,所以time=68

72法则

这是一种快捷算法,因为实际中银行的利率不可能是100% ,但是我们经常想知道本金到底什么时候能够翻倍。而对于利率为100% 的连续复利,如果要翻倍就需要ln(2)=0.693个单位时间。

那么对于小利率呢,为了方便计算现将利率乘以100,但注意是百分数。那么0.693也要乘以100,等于69.3。

rate·time = ln(2),可知time = 69.3/rate

但是69.3并不太好分,所以我们取一个相近的,72,因为其可以被2、3、4、6、8整除。因此,翻倍所需时间大约是 72/rate,这就是“72”法则。当然,如果想计算增长到3倍的话那就是“110”法则了。

所以,我觉得在某种意义上说,对数也延长了会计的寿命吧!

祝我当了30年会计的母亲生日快乐,身体健康,长命百岁,么么哒~


Reference

[1] 陈仁政,不可思议的e [M], 北京,科学出版社

[2] Gottfried Wilhelm Leibniz, https://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz

[3] Michael Stifel, https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel

[4] John Napier, https://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier

[5] Napier’s bones, https://en.wikipedia.org/wiki/Napier%27s_bones

[6] Demystifying the Natural Logarithm (ln), https://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/

(Sample picture source:betterexplained.com)

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