十一八天假，确实挺长，天天下雨，完全没心情玩，所以很想把各种前期没来得及整理的资料整理一下，关于微分方程、复变函数之类的东西重新再看看，最近无意中看到关于飞蛾扑火、等角螺线等问题，正好比较相关，就多看了一下，总结了几篇文章，一方面是比自己巩固一下基本概念，另一方面也是想和大家分享一下自己的一些小发现。

飞蛾扑火是一种自然现象，但其原因却一直被人们误解为趋光性，而实际上并非如此，尤其是飞蛾，知乎上有一个提问叫《昆虫为什么不会因趋光性齐刷刷地奔向太阳？》，这个问题提得很好，因为光看到这个标题，心里就已经开始对“趋光性”表示怀疑了。

其实，飞蛾扑火并非因为喜欢亮光，其主要是在利用亮光为自身导航，尤其是在黑夜的时候，飞蛾会利用月光导航，其实就是在不出意外的情况下尽量保持直线飞行，毕竟直线最短。

但是，后来人类学会了使用“火”，这种人造的光源与自界中的太阳光或反射太阳光而形成的月光的一个显著的区别是：人造的多为点光源，如烛光，而日光或月光可以近似看作平行光，但是人类学会使用火的历史相对于蛾子出现的历史显然是足够短的，并且人类对大自然的影响毕竟有限，还远远做不到对蛾子进行自然选择以教会世界上所有的蛾子区分自然光与人造光的能力，所以蛾子还是当年那个动不动就扑火的蛾子，但人类却渐渐看清了其“扑火”的真相。

由于飞蛾习惯了自然的平行光，会认为，只要和光线保持一定的夹角不变，其就能走直线了。这就好比，“猫走不走直线，取决于耗子；蛾子飞不飞直线，取决于光线”。在只有微弱月光的夜晚，飞蛾本来飞得好好的，结果靠近了一个亮得多的烛光，烛光的光线呈现放射状，假设飞蛾飞行轨迹和烛光的圆心点位于同一平面，而且飞蛾飞行方向与光线方向始终保持45°（当然也可以是其他角度，这里是为了方便计算），那么，显然其运动轨迹将是“等角螺线”！

这个图如果难以令人信服的话，有延时摄影图为证：

飞蛾傻傻地一圈圈靠近光源，直到遇到火，然后就没有然后了。不过今天突然就觉得不妨计算一下这种轨迹，对，就是吃饱了撑的。可能是看了微分方程之后就对所有速率、倾角啥的特别来电！

假设烛光在坐标原点，飞蛾的位置为(x,y)点，先把飞蛾位置放在第一象限，方便计算，那么飞蛾与烛光连线后与X轴正方向的夹角为α

显然有tanα=y/x。设飞蛾的飞行路径为y=y(x)，则有：

由此得到齐次微分方程：

采用逆代法，令z=y/x，则有y=zx；y’=z’x+z.

所以有：

两边积分：

这个通解的样子挺难看的，我们用极坐标表示吧！

完美！感谢Euler Formula~

得到的是堪称完美的指数螺旋线，自然界这种绕一点的等角度运动形成的就是以自然底数为底的指数螺旋曲线。比如，海螺什么的，这或许是自然底数之所以谓之“自然”的一种原因吧。

关于自然底数的由来，请关注本公众号“科研狗”的下一期推送《自然底数e怎么就“自然”了？》。