Laplace变换中S的由来

A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.——Arthur Mattuck (MIT数学系返聘教授,原MIT数学系主任)

一个比较好的关于Laplace变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。
Pierre Simon Laplace
Pierre Simon Laplace

学过控制的都知道拉氏变换(Laplace Transform),但是你们是不是也有疑问,拉氏变换的S是个什么鬼?皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵当年为啥就能想出个这样的数学变换公式?

我是自从接触拉氏变换就一直有这样的疑问,直到有一天,看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟。更有意思的是导师有一天也问了这样一个看似无厘头的问题,还好当时有所准备。

我们知道,一个幂级数可以写为如下形式:
S1 (1.1)

如果将an看成一组离散的数列,则上式也可以写为:
S2(1.2)

a(n)看成是作为幂级数系数的一组离散函数,上式可以看做是函数A(x)的构造过程,即,只要输入一个{a0,a1,a2,⋯}序列,就可以输出一个A(x),其中,x 是输出函数A(x)的自变量。

现在,举一个例子,如果取a(n)=1,即{a0=1,a1=1,a2=1,⋯}那么我们将得到:
S3(1.3)

有人说上式最后等于1/(1-x),但这么说其实不准确,因为并不是对于所有的x上式都成立,只有当它是一个收敛级数时才成立!而式(1.3)中x 的收敛域为(-1,1),所以式(1.3)可以改写为:
S4 (1.4)

再举一个例子,如果a(n)=1/n!,则有:
S5 (1.5)

在这个例子里,x 对于任意实数均成立,其实上式就是exx =0 处的泰勒展开。

从上面的例子可以看出,取一个定义在正整数上的离散函数或非负的整数,然后进行加和操作,结果却能够产生一个连续函数。注意其中的离散函数an的变量为n,加和得出的结果却是关于变量x。总之,这是幂级数的一种性质,也属于一种离散求和的情况。

假设让这个求和变得连续而不是离散,即不是让变量n =0,1,2,3…,另外定义一个变量t,并且0≤t<∞,即t可以为[0,∞)中的任意实数。

如果想用t 取替代n,显然不能用上面处理离散序列的办法在所有实数上求和,而是通过积分。即:
S6(1.6)

我们可以保留这种形式,但是没有数相家喜欢这样做,而且工程师也很少这样做,因为当做积分和微分时,没有人希望其中有一个指数的底是x 之类的积分或微分项,这看起来很头疼。而唯一方便的是自然底数e。只有e 才是人们喜欢用来积分或微分的。

因此我们将以x 为底数的指数变换成为以e 为底数的指数形式:
S7(1.7)

现在,我们再看这个积分,显然,我们写出这个积分当然希望其可解,或者说收敛。毕竟这是一个从零到无穷大的广义积分,我们需要特殊对待,只有当x 是一个小于1的数时该积分才有可能收敛,当幂越来越大时,得到的数越来越小,所以这里要求x <1。然后,我们还希望x 为正值,否则会遇到负幂的麻烦,例如当x =-1,t =1/2时,将得到虚数,这是我们所不愿看到的,所以这里要求0<x <1,我们怎么做是为了让积分收敛。那么对于lnx又如何呢?显然,当0<x <1时,lnx <0。

lnx 这个变量看起来貌似有点复杂,我们何不用一个变量去代替它呢?

那么就用s 吧!

现在令s = -lnx 或-s = lnx,因为lnx <0,取-s = lnx的话,s 就总为正数了,处理正数当然更符合人们的习惯。另外,我们用f (x )代替a (x ),这样看上去更像我们熟悉的函数形式。我们上面各种替换都只是为了修饰,我们将这些替换代入式(1.7)中,得:
S8(1.8)

我们得到了Laplace Transform!

如果用符号代替,可以将式写为:S9(1.9)

这就是Laplace变换,当将一个t 的函数输入,将得到一个关于s 的函数。

另外,这里说的是变换,而对于一个算子来说,就不会是这样,变换和算子的最本质区别在于,经过算子运算,变量没有变,比如微分就是一种典型的算子,而经过变换运算则会改变变量的形式。

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